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FRAÇÃO NA MATEMÁTICA, NA ESCOLA E EM SINOP

Ronnie Jefferson Fazollo¹

ANALISANDO AS FRAÇÕES SOB DIFERENTES ENFOQUES

FRAÇÃO NA MATEMÁTICA

Nesse momento, nos propomos a apresentar uma breve descrição histórica sobre a fração, bem como seu surgimento e as suas diferentes representações em algumas culturas.

Na história

Atualmente sabemos que a noção de número está associada através dos tempos, a todos os tipos de atividade humana. Segundo Santos (2005, p.60):

as primeiras informações a respeito da idéia de número são do período paleolítico, no entanto, poucos progressos fizeram neste campo até se dar a transição ao período neolítico, durante o qual já existia uma atividade comercial importante entre diversas povoações.

Sendo assim, neste período as idéias de número basearam-se na formação de linguagens, sendo que, essas linguagens exprimiam coisas muito concretas e poucas abstrações. Entretanto, começam a surgir alguns termos numéricos simples, como a distinção entre um, dois e muitos. Em face dessa utilização por séculos dos números para contar, medir e calcular, surgem as primeiras especulações sobre a natureza e propriedades dos próprios números.

Analogamente, podemos dizer que as coisas não ocorreram de modo muito diferente com as frações. Segundo Bezerra (2001, p.42):

há aproximadamente 20.000 anos o homem já havia criado o fogo e ainda não havia criado o número. Vivendo em tribos nômades, encontrava na coleta sua forma de sobrevivência, limitando-se a colher o que lhe era possível conseguir. Porém as experiências e as observações diárias vão lhe mostrando os melhores caminhos, permitindo-lhe um controle cada vez maior da natureza.

Nesse período, o homem começa a substituir a caça e a coleta pela pecuária e a agricultura, dessa forma, os problemas oriundos de sua vida diária surgem como condição motivadora e potencializadora do desenvolvimento do trabalho humano.

Encontramos em Boyer (2003, p.1) o fortalecimento dessa idéia:

é claro que a matemática originalmente surgiu como parte da vida diária do homem, e se há validade no princípio biológico da 'sobrevivência dos mais aptos' a persistência da raça humana provavelmente tem relação com o desenvolvimento de conceitos matemáticos.

Segundo Struik (1987) no Oriente Antigo, com a descoberta do Papiro de Rhind (descoberto em 1858; escrito por volta de 1650 a.C. por Ahmes) e do Papiro de Moscovo apresenta-nos a Matemática egípcia, que pode ser constatada, por meio dos problemas neles contidos, que esse povo já tinha se familiarizado com as frações. Entretanto, estas eram escritas de forma diferente da que utilizamos atualmente, ou seja, 1/10 era representado com 10, possibilitando, desde aquela época, a idéia de um inteiro e não de uma unidade fracionada.

Podemos notar que a aritmética egípcia fazia uso de frações, porém as frações eram reduzidas à soma das chamadas 'frações unitárias', ou seja, frações de numerador um. Cabe ressaltar que as únicas exceções eram 1/2 e 2/3, para os quais existiam símbolos especiais. O Papiro de Rhind apresenta uma tabela que dá as equivalências em frações unitárias a todos os números ímpares de 5 a 101.

Segundo Struik (1987, p.53):

o princípio subjacente a esta redução especial a frações unitárias não é claro. Este cálculo com frações deu à matemática egípcia um caráter complicado e pesado, mas, apesar destas desvantagens, a maneira de operar com frações unitárias foi praticada durante milhares de anos, não só no período grego, mas também na Idade Média.

Segundo Ifrah (1992) as frações foram conhecidas na Antiguidade, entretanto, na falta de numerações bem constituídas, suas notações foram durante muito tempo mal fixadas, não homogêneas e inadaptadas às aplicações práticas. Outro fato relevante é que não foram consideradas desde a sua origem como sendo números; tampouco se concebia a noção de fração geral m/n, como m vezes o inverso de n.

Boyer (1974 apud BEZERRA, 2001) relata que as frações 1/8, por exemplo, eram manipuladas livremente no tempo de Ahmes  1650 d.C.  todavia, a fração geral parece ter sido um enigma aos egípcios. Dessa forma, estes só concebiam as frações "unitárias" (de denominador igual a um) e só exprimiam as frações ordinárias por meio das somas de frações desse tipo (por exemplo:7/12 = 1/3 + 1/4).

Com o desenvolvimento do Cálculo e da Aritmética, tornou-se claro que as frações submetiam-se às mesmas regras que os inteiros, sendo assim, assimiláveis aos números (sendo um inteiro uma fração de denominador igual a um). No Papiro de Rhind, observa-se que num problema para achar dois terços de 1/5 procede-se ao método, descrito a seguir, indicando alguma percepção das regras gerais usadas pelos egípcios.

Para a decomposição de 2/5, o processo de dividir ao meio é inadequado; mas começando com um terço de 1/5, encontra-se a decomposição dada por Ahmes, 2/5 = 1/3 + 1/15. No caso de 2/7, aplica-se duas vezes a divisão por dois a 1/7 para obter o resultado 2/7 = 1/4 + 1/28; sucessivas divisões por dois fornecem também a decomposição de Ahmes 2/13 = 1/8 +1/52 + 1/104. A obsessão egípcia com dividir por dois e tomar a terça parte, se percebe no último caso da tabela 2/n para n=101. Talvez um dos objetivos da decomposição de 1/2n fosse chegar a frações unitárias menores que 1/n. (BOYER, 2003, p.10).

Segundo Santos (2005), a extensão dos conceitos numéricos foi crescente e se outrora serviam para recenseamento, agora tornaram-se "marcas" adaptadas a inúmeros usos. Nesse momento, não só se podiam comparar duas grandezas por "estimativa", mas também era possível dividi-las em parcelas ou, ao menos, supô-las divididas em partes iguais de uma grandeza escolhida como padrão. Apesar dos avanços, por causa de suas notações imperfeitas, os antigos não foram capazes nem de unificar a noção de fração nem de construir um sistema coerente para suas unidades de medida. Sendo assim:

A notação moderna das frações ordinárias se deve aos hindus, que, devido a sua numeração decimal de posição, chegaram a simbolizar mais ou menos como nós uma fração como 34/1265: onde 34 é o numerador e 1265 é o denominador. Esta notação foi depois adotada e aperfeiçoada pelos árabes, que inventaram a famosa barra horizontal (IFRAH, 1992, p..327).

Para os babilônios, que sabiam resolver equações de 1° e 2° graus, o uso das frações era comum, prova disso é que em tabuletas de argila do período babilônico antigo (1990 a 1600 a.C.) é possível encontrar tabelas de números incluindo frações.

Segundo Santos (2005), entre os gregos, casos particulares de proporções (média aritmética, geométrica e a proporção áurea) já eram familiares desde a época dos pitagóricos, a exemplo disso, temos que no livro V dos Elementos de Euclides, era possível encontrar a teoria das proporções de Eudoxo de Cnido (aproximadamente 408 a 355 a.C.), que não só sugere a definição atual de igualdade de frações a/b = c/d, se e somente se ad=bc, como também é próxima das definições de número real surgidas no século XIX.

Notadamente, nos séculos XI e XII se de um lado a aritmética indo-arábica produzia um sistema de numeração e de escrita de frações, onde o numerador era colocado sobre o denominador, de outro, as tradições judias exprimiam frações por intermédio de uma linguagem retórica como quantidades de partes de unidades originadas dos pesos e medidas.

Posteriormente, já na segunda metade do século XV, a principal linha de desenvolvimento da Matemática perpassa pelo crescimento das cidades mercantis que estão sob a influência direta do comércio, navegação, astronomia e agrimensura. Nesse momento, a grande Era volta-se às navegações e descobertas. As frações passam a fazer parte do cotidiano das pessoas e as representações e os conceitos da Antigüidade são aperfeiçoados e adaptados às soluções dos problemas da época.

A partir do século XVI surgem as frações com numeradores maiores que o inteiro, representação essa bem próxima das contidas nos livros dos séculos XIX e XX, com expressão de divisão. A notação moderna deve-se aos hindus pela sua numeração decimal de posição e aos árabes pela criação da barra horizontal separando o numerador do denominador.

Em síntese, neste breve relato histórico, notamos que os grandes insights para a formação conceitual das frações começaram na pré-história e foram até a Idade Média, sendo que, após esse período houve uma preocupação maior com o aperfeiçoamento da escrita e a utilização para os decimais.

FRAÇÃO NA ESCOLA

Nesta seção apresentamos as frações sob o aspecto da Matemática como disciplina escolar (seu ensino e sua aprendizagem), dando ênfase às recomendações contidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), para sua introdução a partir do segundo ciclo do Ensino Fundamental (3ª e 4ª séries).

Fração e os Parâmetros Curriculares Nacionais

Segundo os PCN's (1997, p.101):

a abordagem dos números racionais no segundo ciclo tem como objetivo principal levar os alunos a perceberem que os números naturais, já conhecidos, são insuficientes para resolver determinados problemas.

Nesse sentido, percebe-se que à partir do segundo ciclo do Ensino Fundamental (3ª e 4ª séries), torna-se necessário o ensino dos números racionais, pois estes são requisitos fundamentais para a resolução de determinados problemas a serem estudados nessa etapa.

Cabe, então, ao professor o papel de levar os alunos a identificarem nos números racionais a possibilidade de encontrarem respostas aos novos problemas.

Concordando com Santos (2005, p. 93):

a aprendizagem dos números racionais supõe rupturas com as idéias construídas pelos alunos a respeito dos números naturais. Portanto, a aprendizagem dos números racionais demanda certo tempo e uma abordagem adequada.

Desse modo, o professor deve em sua atividade de ensino/aprendizagem trabalhar em prol da construção do conceito de números racionais junto aos seus alunos, procurando segundo Koch e Ribeiro (1997), não enfatizar a memorização e repetição do conteúdo e sim, desenvolver novas maneiras de pensar e "ver" a realidade.

Reconhecendo isso, devemos enquanto educadores procurar levar nossos alunos a perceberem a presença dos números racionais no contexto diário, tornando segundo Koch e Ribeiro (1997, p.41) "a Matemática acessível a todos os alunos através de um ensino em contextos que sejam significativos e relevantes para quem está aprendendo".

Nesse sentido, cabe lembrar que esses números aparecem no cotidiano das pessoas muito mais em sua representação decimal do que na forma fracionária.

As frações podem assumir diferentes significados. O primeiro deles segundo Santos (2005), é de relação parte-todo, indicando a relação existente entre o número de partes e o total de partes. Há também o significado de quociente; trata-se da divisão de um número natural por outro (a:b = a/b; b`0).

Segundo os PCN's (1997) há também um outro significado para as frações, elas podem ser interpretadas como razão, ou seja, funcionando como um índice comparativo entre duas quantidades e uma grandeza. Em ciclos posteriores, as frações podem assumir o significado de operador, ou seja, algo que atua em determinada situação e a modifica.

De forma geral, os PCN's sugerem que o conteúdo de frações seja abordado no segundo ciclo do Ensino Fundamental com os seguintes significados: relação parte-todo, quociente, razão e operador (nos ciclos posteriores).

Quando a abordagem dos números racionais for junto ao terceiro e quarto ciclos, deve o professor tentar construir um bom contexto de significação, recorrendo aos problemas históricos que envolvam medidas.

Nesse sentido, segundo Santos (2005, p. 95):

poderíamos discutir com os alunos, por exemplo, como os egípcios já usavam a fração por volta de 2000 a.C. para operar com seus sistemas de pesos e medidas e para exprimir resultados. Eles empregavam apenas as frações unitárias, com exceção de 2/3 e 3/4. Assim, em uma situação na qual precisam dividir, por exemplo, 19 por oito, eles utilizavam um procedimento que, em nossa notação, pode ser expresso por: 2+1/4+1/8.

Sendo assim, podemos utilizar problemas desse tipo em sala de aula, discutindo-o com os alunos e procurando métodos diferentes para resolvê-lo.

Além dos significados: relação parte-todo, quociente, razão e operador, veremos também, que no terceiro e quarto ciclos os números racionais podem assumir representação de probabilidade e porcentagem, não sendo recomendável o ensino isolado de cada uma dessas interpretações.

Para Santos (2005), os PCN's apresentam inovações importantes e necessárias no que tange o ensino/aprendizagem do conteúdo de números racionais, pois possibilita a construção do conceito de fração. Acrescenta-se também, que essas inovações são positivas porque enfatizam o ensino de frações utilizando como método a resolução de situações-problemas e verificação dos diversos significados e representações que as frações podem assumir.

FRAÇÃO EM SINOP

Nesta seção, apresentamos um breve relato da forma como é conduzido o ensino das frações em turmas de 5ª e 6ª séries de Matemática em escolas públicas municipais da cidade de Sinop  MT.

Sendo assim, nesta abordagem priorizamos o estudo, ainda que fragmentado, dos documentos oficiais do município de Sinop no que tange os conteúdos estudados durante o ano letivo e os objetivos quanto a cada um deles.

Localizando o ensino das frações nas Diretrizes Curriculares² do município de Sinop

Neste momento, faremos um estudo das Diretrizes Curriculares para a disciplina de Matemática em turmas de 5ª e 6ª séries do município de Sinop. Diretrizes essas que constantemente são revisadas e atualizadas visando a melhoria no ensino/aprendizagem da disciplina de Matemática em escolas municipais.

Cabe ressaltar que tais diretrizes são elementos norteadores às escolas no momento de elaboração de seu Projeto Político Pedagógico e em nenhum momento devem ser rígidas e inflexíveis, devendo a escola juntamente com o quadro de professores, técnicos e pais de alunos definirem os ajustes a serem implementados ou não às especificidades de cada unidade escolar.

A seguir, apresentamos uma tabela contendo as Diretrizes Curriculares ora citadas, bem como, a análise de alguns pontos considerados relevantes em nossa pesquisa.

Conteúdos Programáticos da 5ª Série

1° Bimestre

• Diagnóstico dos conhecimentos prévios dos conteúdos que darão suporte a 5ª série;
• A multiplicação como soma de parcelas iguais;
• A divisão como subtração de quantidades iguais;
• Símbolos matemáticos;
• História da criação do sistema de contagem;
• Número e Numeral;
• Números Naturais.

2° Bimestre

• As operações e suas propriedades;
• Potenciação e suas propriedades;
• Radiciação;
• Divisibilidade.
• Números Primos e Compostos;
• M.M.C (Mínimo Múltiplo Comum);
• M.D.C (Máximo Divisor Comum).

3° Bimestre

• Números Racionais Absolutos e suas operações;
• Números Decimais e suas operações.

4° Bimestre

• Geometria;
• Perímetro, Áreas e Volumes.

Objetivo Geral:

Identificar os conhecimentos matemáticos como meio para compreender e transformar o seu meio, desenvolvendo formas de raciocínio para resolução de problemas.

Objetivos Específicos:

• Desenvolver e estimular habilidades e técnicas de cálculo das várias operações, bem como o cálculo mental;
• Conhecer outros sistemas de numeração comparando com o Sistema de Numeração Decimal, em particular, o princípio de valor posicional na seqüência numérica;
• Compreender a potência como produto cujos fatores são iguais;
• Adquirir os primeiros conceitos sobre radiciação, em particular a raiz quadrada;
• Compreender os conceitos e os critérios de divisibilidade identificando divisores e múltiplos de um número natural;
• Desenvolver habilidades e técnicas em decomposição de um número em fatores primos ou não, bem como o cálculo do M.M.C (Mínimo Múltiplo Comum) e M.D.C (Máximo Divisor Comum);
• Compreender e relembrar o significado das frações como razões entre partes e o inteiro, bem como a aplicação e o conceito de equivalência;
• Transferir as técnicas de cálculo com as frações para efetuar operações com os números racionais, bem como o significado da divisão não-exata;
• Adquirir conhecimento sobre a escrita numérica decimal;
• Desenvolver habilidades e técnicas de cálculo com os decimais;
• Desenvolver a habilidade de identificar unidades de medida mais adequadas em cada situação de medição;
• Adquirir os conceitos básicos da Geometria observando regularidades e padrões nas figuras geométricas e estabelecendo critérios de classificação;
• Adquirir o conceito de medida, superfície e volume;
• Estabelecer semelhanças e diferenças entre as unidades de medida de comprimento, superfície e volume, especialmente nas atividades que envolvem mudanças de unidade.

Conteúdos Programáticos da 6ª Série

1° Bimestre

• Diagnóstico dos conhecimentos prévios dos conteúdos que darão suporte a 6ª série;
• Medidas;
• Números Inteiros Relativos (Z)  operações.

2° Bimestre

• Números Racionais (Q)  operações;
• Equação do 1° Grau com uma variável;
• Inequações.

3° Bimestre

• Sistema de equação do 2° Grau;
• Razão e Proporção;
• Regra de Três Simples.

4° Bimestre

• Porcentagem e Juros Simples;
• Geometria;
• Medida de ângulos;
• Congruência de ângulos;
• Unidade de medida de ângulos;
• Operações com medidas de ângulos.

Objetivo Geral:

Possibilitar a aprendizagem, a compreensão e valorização dos conteúdos de Matemática, estimulando a independência e a autoconfiança nas resoluções de problemas relacionados ao dia-a-dia do aluno.

Objetivos Específicos:

·Recordar os conteúdos anteriores para melhor compreensão;

·Interpretar situações-problema envolvendo números positivos e negativos em diferentes significados: sobra, falta, orientação;

·Reconhecer números racionais positivos e negativos;

·Identificar o conjunto Q dos números racionais;

·Identificar como equação toda sentença matemática aberta expressa por uma igualdade. Como também resolver, pelo processo geral, uma equação do 1° grau com uma variável, aplicando os princípios de equivalências das equações;

·Reconhecer que toda sentença matemática aberta expressa por uma desigualdade é uma inequação;

·Representar simbolicamente o conjunto solução de uma inequação do 1° grau com uma variável;

·Interpretar o conceito de razão e identificar os seus termos;

·Ler e representar corretamente uma proporção identificando os seus extremos e seus meios;

·Aplicar os conhecimentos adquiridos para resolver problemas que envolvem duas ou mais grandezas variáveis dependentes, direta ou inversamente proporcionais;

·Reconhecer o significado do símbolo % (por cento) e aplicação da regra de três simples para resolver problemas envolvendo porcentagem;

·Reconhecer juros como a compensação em dinheiro que se recebe ou se paga por uma quantia depositada ou emprestada;

·Conhecer os diferentes processos de se calcular médias e sua utilização.

Fonte: Secretaria Municipal de Educação e Cultura de Sinop - MT

À partir da análise das tabelas, constata-se que o conteúdo de frações (números racionais) é citado nas Diretrizes Curriculares do município de Sinop, tanto na 5ª como na 6ª série. Tal fato, já nos dá subsídios para argumentarmos da real importância do ensino dos Números Racionais na Educação Básica (Ensino Fundamental), isso desde a 3ª e 4ª séries onde os alunos têm o seu primeiro contato com o conteúdo.

Notamos que na 5ª série esse conteúdo deve ser trabalhado no 3° bimestre do ano letivo, sendo enfocado os Números Racionais Absolutos e suas operações. Acrescenta-se a isso, o fato de logo após o conteúdo dos Números Racionais, ser visto pelos alunos os Números Decimais e suas operações, sendo assim, se o professor conseguir estabelecer relações entre tais conceitos, os seus alunos encontrarão menores dificuldades posteriormente.

Já na 6ª série os Números Racionais e operações são estudados no início do 2° bimestre, agora com uma abordagem um pouco mais avançada.

Em ambas as séries percebe-se a relevância do ensino/aprendizagem de tal conteúdo, sendo que este configura-se como pré-requisito para a aprendizagem de tantos outros.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BEZERRA, Francisco José Brabo. Introdução do conceito de número fracionário e de suas representações: uma abordagem criativa para a sala de aula. (Dissertação de Mestrado) - PUC/SP, 2001. Disponível em:

BOYER, Carl B. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide.  2. ed.  São Paulo: Edgard Blücher, 2003.

IFRAH, Georges. Os números: história de uma grande invenção. Tradução de Stella Maria de Freitas Senra.  4. ed.  São Paulo: Globo, 1992.

KOCH, Maria C. Machado; RIBEIRO, Maria J. Sperb. Um professor mediador entre o aluno e o saber matemático. In. O ensino nas séries iniciais: das concepções teóricas às metodologias. Porto Alegre: Editora Mediação, 1997. p. 39-46.

PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS: matemática  Secretaria de Educação Fundamental.  Brasília: MEC/SEF, 1997.

SANTOS, Aparecido dos. O conceito de fração em seus diferentes significados: um estudo diagnóstico junto a professores que atuam no ensino fundamental. (Dissertação de Mestrado)  PUC/SP, 2005. Disponível em:

STRUIK, D. J. História concisa das matemáticas. Tradução de João Cosme Santos Guerreiro. Lisboa: Gradiva, 1987.

Autor: Ronnie Jefferson Fazollo

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