Sistema Massa - Mola
Tédni de Abreu Goulart
Resumo
No experimento a seguir utilizamos uma mola, cuja constante será encontrada através das analises dos dados coletados com a realização do experimento, usamos também discos com massa de 50 gramas e um suporte. Realizamos uma coleta de dados, dados esses que serão utilizados para o calculo da constante da mola e construção de alguns gráficos.
Introdução
O sistema massa mola é o mais simples sistema de vibração livre para se analisar. Consiste basicamente em um corpo com uma massa qualquer, preso a uma mola com uma constante elástica qualquer, quando aplicada uma força inicial no sistema, a massa adquire uma aceleração na direção da força aplicada, o sistema entra em movimento, a mola exerce sobre o corpo uma força comumente chamada de força restauradora, pois sempre aplica uma força contraria ao movimento a fim de restaurar o equilíbrio, levando o corpo a posição inicial.
Devido a essa força, desconsiderando as forçar de atrito no sistema, o movimento seria eterno, pois quando temos o corpo com velocidade nula, temos a posição máxima do mesmo, então a mola exerce sua força restauradora o que causa uma aceleração no corpo, levando-o para posição inicial, como a posição inicial é a posição onde a mola está em equilíbrio, então a força da mola cessa, porem a velocidade do corpo agora é máxima, fazendo com que o corpo passe da posição inicial, indo até o ponto onde a velocidade é nula novamente, repetindo assim o movimento.
Análise
Como qualquer problema físico o sistema massa mola pode ser analisado através de uma equação diferencial.
Da segunda lei de Newton temos que
F=m.a [1]
onde F[N] é a força, m[Kg] é a massa e a[m/s²] é a aceleração.
Levando em conta que a mola obedece a lei de Hooke (F=-k.x), podemos dizer que
-k .x=m.a [2]
como a é a derivada segunda de x escrevemos
-k .x=m .x''
x^''+ (x.k)/m=0 [3]
como k/m=w², substituindo w² na Eq. 3 temos
x^''+ x.ɲ=0 [4]
como o problema tem caráter oscilatório é conveniente pensar em uma solução do tipo
x=A.cosaÉ.t+ B.sinaÉ.t [5]
logo a velocidade em função do tempo é
x^'=-AÉ sinaÉ.t+ BÉ.cosaÉ.t [6]
para tempo igual a zero na equação 5 temos
xo=A.cosa0+ B.sina0
xo=A [7]
substituindo Xo por A e fazendo t=0 na Eq.6 temos
x^'=-AÉ sina0+ BÉ.cosa0
xo' = B.É
B= xo'/É [8]
substituindo A e B na Eq. 5 temos
x = xo.cos(Ét) + xo'/É.sen(Ét) [9]
Então a Eq.9 é a solução geral para equação diferencial 3.
Experimento
Utilizando massas diferentes, encontramos os respectivos deslocamentos estáticos, os períodos das oscilações para cada massa e calculamos a força peso exercida sobre a mola conforma mudávamos as massas.
Podemos assim construir a seguinte tabela:
M (g) F (N) X (mm) T (s)
50 0,490 15 0,305
100 0,901 30 0,377
150 1,472 45 0,444
200 1,962 60 0,515
250 2,452 75 0,535
Construímos o gráfico da força peso em função do deslocamento.
Comparando a Lei de Hooke com a equação geral de uma reta
y=a.x+b F=-k.x
podemos dizer que o coeficiente angular da reta é a constante elástica da mola, calculando o coeficiente angular da reta, encontramos 1,873, logo a constante da mola que utilizamos é 1,873 N/mm ou 1873N/m .
Montamos também o gráfico do período em função da massa, temos então
Calculando a relação entre o período e o deslocamento temos:
T = 0,004x + 0,255
Conclusões
Terminado o experimento podemos concluir que é possível calcular a constante de rigidez elástica da mola utilizada no experimento, se a mesma respeitar a Lei de Hooke e se tivermos como modificar a massa do corpo que será suspenso pela mola.
Caso não haja forças de atrito o sistema ficaria em movimento eterno. A equação da posição em função do tempo de qualquer sistema de oscilação livre não amortecida pode ser deduzida através de uma equação diferencial.
Autor: Tédni De Abreu Goulart
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