Definição formal de ponto ideal - geometria hiperbólica



O presente texto traz uma das importantes definições existentes na Geometria Hiperbólica: a de Ponto Ideal. Esse resultado pode ser usado inclusive como resposta de uma questão proposta por João Lucas Marques Barbosa em seu livro " Geometria Hiperbólica- Ed. da UFG, 2002; Capítulo 6; Seção 6.2; pág. 65.

DEFINIÇÃO(De ponto ideal)

No plano E (plano Euclidiano) com os axiomas da Geometria Hiperbólica, seja R= {r/ r é reta em E}. Considere em R a relação:

r/s pertencentes a R,   rR*s se, e somente se, r = s  ou   r é paralela a s no mesmo sentido.

Observe que R* é uma relação de equivalência, uma vez que são válidas as propriedades reflexiva, simétria e transitiva.

É exatamente a cada classe de equivalência rd ou re pertencentes a R/~  que chamamos de ponto ideal (da reta r).

R/~  é o conjunto dos pontos ideais ou pontos no infinito do plano hiperbólico.

Obs: rd é um ponto que se identifica com um feixe de retas paralelas em um mesmo sentido a alguma reta dada r.                                                                                                      Denotamos também rd por Ω.

Fixada uma reta r podemos associar a r dois pontos ideais Ω+ e Ω- , os quais podem ser justapostos a r, formando uma reta “longa” ou uma reta com os pontos no infinito “anexados”.

Logo, se r* é uma de tais retas fixada, temos:

r* = r U rd U re  e  r* está contida em E U R/~.

Note que, R/~ é um espaço abstrato e que H =  E U R/~, onde H representa o espaço hiperbólico

Perceba finalmente, que  r* é reta de H se r* = r U rd U re, onde r pertencente a R e rd e re são as classes de retas paralelas à direita e à esquerda respectivamente.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Autor: Fernando Costa Gomes


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